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対数螺旋の滑り台

対数で遊ぼう、などという世間様にはあまり受け入れてもらえないであろう妄想を抱いて、「Spiral」とういソフトウエアを作っています。対数螺旋の性質を、三角形の相似だけで調べようという試みです。

Ls 世の中には色々な人がいるもんだと思いますが、対数螺旋の遊具(滑り台)を作った人がいます。群馬県宮城村総合運動公園にあるようです。右が、その図面です。中の赤色の線は、「Spiral」で描いたものです。

螺旋の性質

Rs3 1.相似三角形での表示

1.076。30度回転ごとに1.076倍の相似三角形を描いて、その頂点を結ぶ曲線。

Rs2 2.極方程式での表示こちらを参照

接線と中心線とのなす角=82.0度

アンモナイトの対数螺旋に、82度付近が多いように見えます。

こちらに動画があります。滑走感覚をちょっとだけ体験できます。でも加速感や遠心力の感覚は、滑って見なければ分かりませんね。

タワーを回りこむ部分が対数螺旋、それにクロソイドを繋げ、直線部に接続しているとのことです。

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対数螺旋」カテゴリの記事

コメント

対数螺旋を圧縮機構に使用しようとして挫折したことがあります。(流体機械やさんですので)他に比べて大きすぎる(けど冷えやすい)というわけなのですが。

個人的に懐かしいです。

投稿: デハボ1000 | 2006年10月30日 (月) 10時13分

デハボ1000 さん こんばんは
圧縮機に対数螺旋、にわかにイメージわきませんが、巻貝のようなものを回したりするのでしょうか?
対数螺旋を調べていると、巻貝・虫の飛行から銀河まで興味が尽きません。
私が作ったソフト「Spiral」は、対数螺旋を測る定規の役割を果たすと自負しています。

投稿: SUBAL | 2006年10月30日 (月) 23時36分

SUBALさん おはよう

滑り台屋の271828です。対数螺旋の話題で取り上げて頂いてありがとうございます。
ローラー滑り台の場合は速度の2乗に比例する抵抗を受けて直ぐに終端速度に達しますが、この滑り台はドンドン加速します。速度に応じたバンクを付けないと危険になります。それでだんだん曲率半径が大きくなるような曲線が好ましいのです。
滑り台は曲線長で正規化すると製作が容易になりますから曲線を曲線長で表します。この手法は微分幾何学の常套手段ですが、この意味で対数螺旋もクロソイドも素直な曲線です。

投稿: 271828 | 2006年10月31日 (火) 04時34分

私は二つのものを公転運動の関係で・・・ええい、スクロール型圧縮機の変形例にしようとしたんです。

投稿: デハボ1000 | 2006年10月31日 (火) 22時42分

271828さん こんばんは
なるほど、加速と曲率ですか。そうすると、対数螺旋かクロソイドになりますね。ネイピア数eを使って指数関数で表せば、微積分は楽ちんですね。
271828をハンドルネームとする、滑り台屋さん、恐れ入りました。

デハボ1000さん こんばんは
スクロール型圧縮機を調べてみたら、例として出てきたのはアルキメデス螺旋を2つ絡めて回していました。これを対数螺旋でやろうとしたということですね。こういう試み、たとえ失敗でも私は大好きです。

投稿: SUBAL | 2006年10月31日 (火) 23時42分

デハボ1000さん・SUBALさん こんいちは。

流体機械には全くの素人なので「スクロール圧縮機」を知りませんでした。日立の家電品のサイト
http://kadenfan.hitachi.co.jp/ra/history/tech_05.html
でやっと理解したのですが、二つのアルキメデス螺旋(多分)が同時に動くらしいのでアニメーションにしてくれると有難かったですね。

対数螺旋を一直線上を滑ることなく回転すれば、螺旋の極の軌跡は直線になる、という性質があります。これに着目すれば面白い応用が開けるかも知れませんね。

投稿: 271828 | 2006年11月 3日 (金) 11時29分

>二つのアルキメデス螺旋(多分)が同時に動くらしいのでアニメーションにしてくれると有難かったですね。

これ、アルキメデス曲線ではないんです。円のインボリュート曲線です。ちなみに理論的には四角形のインボリュート曲線でもできます。直線のインボリュート曲線で製品化した会社もあります。
一番イメージが近いのは、蚊取り線香です(最終部が丸くなってますが、球根修正型インボリュート曲線というかたちでこれで製品化しているのもあります。

投稿: デハボ1000 | 2006年11月 4日 (土) 22時51分

インボリュート曲線でしたか。巻いた糸を解いていくときに糸の先端が示す軌跡が示す曲線で、その糸を巻いてある芯が四角形であったり直線であったりすることができるのだ、という理解でよいでしょうか。
円のインボリュート曲線は、回転中心から離れるほどアルキメデス螺旋に近づきますね。
インボリュート曲線を絡めて回すと、どうして優れた圧縮機になるのかはにわかには理解できません。時間が取れたらCGを作ってアニメでも作って見ようかな?
ルーローの三角形のような等幅図形を回転させるポンプのいくつかは、面白いと思っていました。そうしたロータリー型の圧縮機より優れている、ということなのですね。

投稿: SUBAL | 2006年11月 6日 (月) 23時24分

デハボ1000さん・SUBALさん おはよう。

インボリュート(円の伸開線)は機構学に歯車の曲線として登場しますが、基円から少し伸びた絵しか描いてないことが多いので、どんどん伸びた状態を知りませんでした。頭の中で想像して納得です。
歯車の場合はインボリュートが外側で接するのですが、圧縮機の時はこれが内接する、こう考えると何となく理解できそうです。でもアニメーションを作って下さるとありがたいです。

投稿: 271828 | 2006年11月 7日 (火) 08時54分

日立の家電のサイトよりも、産業機器のサイトのほうが動画が入っていていいかも。
http://www.hitachi-ies.co.jp/products/cmp/scroll_oilfree/scrolls.htm

ないしは、違う会社ですとこういうのもあります。(動画ではない)
http://www.anest-iwata.co.jp/products/compressor/prd/scroll/body.html

いかがでしょうか。

投稿: デハボ1000 | 2006年11月11日 (土) 00時20分

デハボ1000さん
アニメの紹介ありがとうございました。やっと分かりました。
回転の仕方を、時計の針が回るように天地を交互に逆にしながら回るもの、と考えていて、どうしてもイメージがわきませんでした。頭が固くなっているようです。
圧縮機は色々なところで使ってきましたが、これは知りませんでした。
紹介されているアニメがガタガタしているので、Shadeでアニメーションを作ろうかと少し試してみましたが、これが意外と難しくあきらめました。

投稿: SUBAL | 2006年11月12日 (日) 16時46分

デハボ1000さん・SUBALさん おはよう。

ご紹介して下さったサイトのアニメーションで私も納得出来ました。ありがとうございます。

さて機構学の本を改めて読んでみました。摩擦車の章に対数螺旋の応用があります。リンクのことばかり考えていたので見落としていました。コンプレッサの場合は内接触ですね。
対数螺旋の摩擦車の例として木の葉車(lobed wheel)の図も載っていましたが、ネットで調べてもアニメーションも絵も見つかりません。

でもインボリュート歯車の面白いアニメーションはありました。
http://www.fe.dis.titech.ac.jp/~gen/hobby/puzzle/puzzlej.html
このページで紹介されている「スターケージ」は射出成形の型を作るお手伝いをしました。懐かしいです。

投稿: 271828 | 2006年11月14日 (火) 09時33分

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