« つまようじブリッジ 予選結果 | トップページ | 第1回 科学の祭典 千歳大会 »

対数螺旋の定数を簡単に調べる

Asp4 対数螺旋は、曲線の接線と中心から引いた線とのなす角が一定になっています。そのために、等角螺旋とも呼ばれます。

対数螺旋にとって、この一定になる角度、右の図でいえばbの値が曲線の性質を決めます。

Leq この対数螺旋は、XY座標ではなく、中心からの距離(r)と角度(θ)で示す極座標で表すほうが簡単になります。右の図に対数螺旋の極方程式とその図解を示します。

アンモナイトやオウムガイの殻は対数螺旋になっていることが知られていますが、これを実際に調べる方法は、簡単ではないように見えます。

いくつもの対数螺旋をパソコンで描いてOHPシートにプリントして合わせてみる、という方法で調べているかたもいます。

Sp0eしかし、調べる対象物を写した写真と、平行線を引ける道具、それに分度器さえあれば、簡単に調べることができます。

中心を通る直線を引いて180°反対の側にある対数螺旋上の点での接線は平行になることを利用します。

① まず、平行線を引けるように三角定規を二枚用意します。

② 適当な位置に接線を引きます。そのままずらして行き、反対側に接線を引きます。

③ 接点に点を描いて、接点同士を直線で結びます。このとき接点を越えてこの直線を延長しておきます。

④ 可能であれば、位置を変えて①~③を繰り返します。

⑤ ③で引いた直線と、①②で引いた接線とのなす角を分度器で測ります。

Lsp おまけでついてくるようなペイントソフトを使うと、もっと手軽にできます。右の図をクリックしてみてください。Windowsについてくる「ペイント」で試してみた過程を、アニメーションにしています。欄外に適当に直線を引いて、コピー&貼り付けをしています。

Ammo01実際の、アンモナイトの写真で試みたのが、右の図です。

この方法の問題点は、

曲線が少なくとも半周以上なければできないことと、分度器で計るために精度が1度程度になることです。

Spiral」は、パソコンが必要ですが、上の方法よりは使いやすいと自負しています。

|

« つまようじブリッジ 予選結果 | トップページ | 第1回 科学の祭典 千歳大会 »

対数螺旋」カテゴリの記事

コメント

こんにちは。高校の数学Cの教科書をパラパラとめくっていたら、極座標と極方程式のところでアルキメデスの渦巻線が載っていました。さすがに手計算ではなく「コンピュータを利用して、このような図形を表示させることもできる」という記述でしたが。来年からこのあたりを教えることになるかもしれないので、話題としてアンモナイトやオウムガイの例は使えるかもしれません。

投稿: KADOTA | 2006年11月12日 (日) 22時38分

KADOTA さん こんばんは
 私が高校生だったころにと比べると、コンピュータを使うことで曲線についてはイメージ豊かにダイナミックに勉強できるのかな、という感じがします。
 アルキメデスの螺旋は、極方程式としてはとてもシンプル(r=aθ)ですから、コンピュータで描画しなくてもイメージできると思いますが、対数螺旋は方程式からすぐにその曲線をイメージすることは難しいかもしれませんね。
 幸い、対数螺旋は自然の中に見つけ出すことができますから、そこから入る方法もあると思います。
 私は、できれば小学生高学年から中学生ぐらいの子どもに対数(対数螺旋)の面白さを伝えたい、とあれこれやっています。自分の子どもに試してみましたが、残念ながら見向きもされませんでした(苦笑)。まだまだこなれていない、ということでしょう。

投稿: SUBAL | 2006年11月12日 (日) 23時47分

>幸い、対数螺旋は自然の中に見つけ出すことができますから、そこから入る方法もあると思います。

これ、そうなんですが、最近こういうものを自然の中から見つけ出すという子供のリテラシー(というのかなあ)も平均的には低くなっているみたいですから、逆に、そういうものから螺旋曲線を誘導するような、ストーリーで展開するのはいかがでしょうか。

(PS)昨日100円ショップでフレグランス用のお香を探していたら、代数螺旋(対数螺旋ではないです)形状のようなお香を発見しました。

投稿: デハボ1000 | 2006年11月16日 (木) 04時40分

>そういうものから螺旋曲線を誘導するような、ストーリー

コンピュタを使わずに、例えばアンモナイトの螺旋を綺麗に描く方法を示す、ということでしょうか。これ、ひとつアイディアがありますので、近いうちにこのブログに書くことにしましょう。

>最近こういうものを自然の中から見つけ出すという子供のリテラシー(というのかなあ)も平均的には低くなっているみたいですから

そうだからこそ、その面白さを伝えたい、というひにくれ者の願望なのです。簡単ではなさそうなので、やってみたいとも思っています。

投稿: SUBAL | 2006年11月17日 (金) 02時49分

>そうだからこそ、その面白さを伝えたい、というひにくれ者の願望なのです
その意義、賛同です。ひねくれてるなんて全然。

投稿: デハボ1000 | 2006年11月17日 (金) 20時21分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/222291/16452637

この記事へのトラックバック一覧です: 対数螺旋の定数を簡単に調べる:

« つまようじブリッジ 予選結果 | トップページ | 第1回 科学の祭典 千歳大会 »