アルキメデスがまがい物王冠を見破った方法

アルキメデスの原理は、浮力の原理です。この原理をアルキメデスは、まがい物の王冠を見破る方法を考えて思いついたとされています。

以下Wikipediaからの引用

シラクサの僭主ヒエロンが金細工師に金を渡し、純金の王冠を作らせた。ところが、金細工師は金に混ぜ物をし、王から預かった金の一部を盗んだ、といううわさが広まった。そこでヒエロンはアルキメデスに、王冠を壊さずに混ぜ物がしてあるかどうか調べるように命じた。アルキメデスは困り果てたが、ある日、風呂に入ったところ、水が湯船からあふれるのを見て、その瞬間、アルキメデスの原理のヒントを発見したと言われる。このとき浴場から飛び出たアルキメデスは「ヘウレーカ（ΕΥΡΗΚΑ）、ヘウレーカ」（分かったぞ）と叫びながら裸で走っていったという伝説も残っている。（もっとも、この時代のギリシアでは奴隷が裸で労働していたため、男性が裸でいるのは別に珍しくなかった。）

アルキメデスは金細工師に渡したのと同じ重量の金塊を用意し、金塊と王冠のそれぞれを、ぎりぎりまで水を張った容器に入れた。すると、王冠を入れると、金塊を入れたときよりも多くの水があふれ、金細工師の不正が明らかになった。金細工師の名は知られていないが、その後死刑になったと伝えられる。

この説なんかおかしい。ちょっと突っ込みを入れてみます。

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金に何をどのくらい混ぜたのかわかりませんが、次のように想定してみます。

王様が金細工師に渡した純金は2ｋｇであった。金細工師はそのうち半分を銀にすり替えた。

半分をすり替えるというのは大きすぎると思いますが、まあこれでやってみます。

現在の価格で金はおよそ3000円/ｇ、銀はおよそ60円/ｇ。金1ｋｇで300万円、銀1ｋｇで60万円ですから、240万円をネコババ出来ることになります。

金の比重は19.3、銀の比重は10.5です。

全部金なら体積は103立方センチメートル、半分銀にすると147立方センチメートルになります。容積にして44ｃｃの差が出ます。

王冠を沈めるには直径で最低20ｃｍぐらいの容器は必要でしょう。44立方センチメートルを直径20ｃｍの円柱にすると1.4ｍｍの高さにしかなりません。

これでは、現実的に「こぼれた水の量」を測るのは困難です。これは、この前の記事へのコメントで「水には表面張力もあり、水は容器を濡らし」と271828 さんも指摘しているところです。

それでも、こぼれ出るところを狭くした特殊な容器（やかんのような）ものを工夫すれば出来ないこともないかもしれません。

仮にこぼれた水の量が正確に測れるとしても、こぼれた水の量で得られる情報は体積です。浮力ではなく、アルキメデスの原理を適用することなく、単位体積あたりの重さ（質量）である密度の差を使ってまがい物の王冠を見破ったことになります。

巷間言われている方法でも絶対に不可能であるとはいえないでしょう。それでも私が金細工職人だったら、命をかけていちゃもんをつけるでしょうね。混ぜ物をした割合がもっと少なければとても微妙な話になります。

特殊な容器をつくるなどという面倒なことをしなくても、浮力の原理が思いついたのであれば、左の図の方法で確認できるはずです。天秤の両側で44グラムの差が生じることになりますから・・・。

実は、この絵は超音波本の挿絵です（王冠の形が違うかもしれません）。私は、この方法も本心しっくり来ないのです。違うのではないかと思っています。本の中では、アルキメデスの原理を説明するところではありませんので、この挿絵を示すにとどめています。

私の疑問は、同じ重量の金を用意しなくても、アルキメデスなら判定できるのではないかと思うのです。

追記：

　調べてみると、天秤でバランスを取ってそのまま水に沈めればわかるじゃないか、という考え方は一部ににあるようです。下記のサイト（ New York UniversityのCourant Institute of Mathematical Sciences ）には、1000グラムの金王冠に30％の銀を混ぜて20ｃｍの容器に入れたら0.4ｍｍしか液面は上昇しない。このスケールでは、Vitruvius’s method は無理、と書いてあります。

http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html

ほとんど私が書いたのと同主旨でしたが、王冠の形はやはり違っていたかな。