はね瀧橋の構造 その3 カテナリーとアーチ

はね瀧橋についての３回目。はね瀧橋といいながら、実のところ「つまようじブリッジコンテスト」を通して学んだことを書いています。

（注：この記事の最後でカテナリーをパソコン上にサクサク描いて理解するフリーソフトを公開しています。）

右の写真は、室蘭市にある白鳥大橋です。路床を高くそびえる支柱間に渡した鋼製のワイヤーで吊っています（写真をクリックすると拡大されます）。このワイヤーが作る曲線、カテナリー（Catenary 懸垂線）と呼ばれます。

カテナリーは、双曲線関数で表すことが出来ます。

式中のeは自然対数の底でe = 2.718281828459045・・・・・と続く超越数です。

式としてはややこしそうです。とりあえず置いておきましょう。式を使わなくても、実際にこの曲線を作るのは簡単です。均一なヒモもしくは鎖（チェーン）のようなものの両端を持って横に広げるとカテナリーは自然に出来ます。

鎖もしくはヒモは重力によって下向きに力がかかりますが、これに対してヒモに引っ張り応力を生じさせて抵抗をしています。ヒモの任意の点ではいずれも引っ張り合っているということです。

実はこれを上下で反転したものがアーチなのです。アーチでは、引張りではなく隣同士は圧縮しあいながら支えています。

もちろん、ヒモやチェーンでは圧縮しようとする力に抵抗は出来ません。アーチ構造の橋は、圧縮に強い材料、石やコンクリートなど作られます。

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カテナリーを描くひもには、支柱間に同じ力が均一にかかっています。このことを等分布荷重といいます。橋の端から端まで同じ型の車に同じ人数が乗り込んで１列に隙間なく並んだ状態を想定してみてください。それが等分布荷重のイメージです。何も錘をつけなくてもヒモがカテナリー曲線を描くのは、ヒモ自身の重さが長手方向で均一だからです。

等分布荷重ではなくて、支間の中央部にだけ集中して荷重がかかったらどうなるでしょうか。ヒモの真ん中に錘をかけることを想像してください。V字になるイメージがわいたでしょうか。

このV字を上下で反転させると、そう、はね瀧橋の逆V、つまようじブリッジの逆Vになるのです。

逆Vにして中央に荷重をかけると、斜めの部材には圧縮の軸力が生じます。この逆V、一点に集中して荷重がかかるアーチである、ともいえますし、もっともシンプルな大きなトラスである、ともいえます。

今回はここまで。

次回は、三角形のかたち、トラスについてもう少し突っ込みます。

付録です。

カテナリーの双曲線関数において媒介変数 a が変化すると曲線の様子がどのように変るかを確かめるための簡単なソフトウエアを作ってみました。

まぁ、式を使って計算しなくても、式の中の値が変化するとどんな曲線になるのか、パソコン上でパッと描いてみよう、というわけです。

画面の左下にあるスライダーでaの値を変化させると、すぐにカテナリー曲線を描画するようになっています。aの値がマイナスになると、アーチの曲線になることがわかるでしょうか。

注：このソフトでは、双曲線関数をそのまま表示しているわけではなく、100の間隔分だけを表示するようにして、始点と終点のY座標はいつも同じになるようにして描画しています。一ますは２に設定してあります。

「catenary_and_arch.zip」をダウンロード