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体積不変のポアソン比

この記事には最後にドンデン返しがありますので、途中でやめたり拾い読みはぜずに、読まれるのであれば最後まで行ってください。

ポアソン比というのは縦ひずみと横ひずみの比です。焼きたての餅をぎゅう~と引っ張ると長さは伸びてゆきますが、同時に細くなります。

Poissons_ratio2 金属も引っ張ると延びますが、細くなります。弾性変形の範囲では、ポアソン比は0.3前後です。

ところが塑性変形の範囲に入ってくると、体積不変の原理が働いてポアソン比が0.5になる、と本に書いていあります。体積不変で縦ひずみと横ひずみの比が0.5に固定するはずはないな、ということで考えてみました。

少々ややこしい計算をしなければならないのですが、ぱっとわかりやすくするために、EXELを使って、グラフにしてみました。

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EXELに体積不変の条件を入れて、縦ひずみ(ε)とポアソン比(ν)の関係をグラフにしました。直線に見えますが、明らかに曲線ですので、3次の多項式近似で近似式を出してみました。μ=-0.004ε+0.5でもよいようなものですが、まあちょっとこだわりで・・・。

Poissons_ratio2 縦ひずみが数%のところでは、ポアソン比がほぼ0.5といって良いことがわかります(ε=0のとき、ν=0.5)。金属の場合、塑性変形域でも全体に伸びたり縮んだりする範囲は数%ですから、この範囲で体積不変のポアソン比は0.5とみなせます。

弾性変形の範囲(縦ひずみは1%以下)で、0.5ではなく0.3ということは、この変形では体積が変わっているということを意味します。引っ張ったときは体積が増加している。逆に圧縮したときには体積は減少しています。

これは、弾性変形が原子間のポテンシャルエネルギーが最小になる平衡距離を、引張では伸ばし、圧縮では縮めていることによります。ばねを伸ばしたり縮めたりしているイメージです。

他方塑性変形は、金属では転位のすべりですから、原子間距離を変える変形ではないわけですね。並びがずれていくだけで、原理的に体積不変になるはずです。

ところで、ひとつの材料の中に局部的に塑性変形にまで至るところが出て塑性域と弾性域が隣り合っていたら塑性拘束という現象が生じます。これが、壊れ方に大きく影響してくる、というお話は、後日ということで・・・。

追記:『ウィキペディア(Wikipedia)』のポアソン比の項にこんな記述があります。

「体積が変化しない場合(液体のような場合)ポアソン比が0.5となる。(断面積は直角方向の寸法の2乗で変化するので、伸びの1/2で体積一定である。)」

液体の場合も圧力をかけると体積変化はあるでしょう。まぁ、それよりも「断面積は直角方向の寸法の2乗で変化するので、伸びの1/2で体積一定である。」という記述は、そんなバナナbananarunですね。

「ので」のつながりがわかりませんが、たとえば10×10mm長さ100mmの角棒で、長手方向で20mm伸びた(縦ひずみ20%)で、ポアソン比0.5とすると横ひずみが10%、9mm角。これで体積が同じになりますか?なりませんね。縦ひずみが20%程度あると、体積不変になるにはポアソン比は0.436程度になるのです。

体積不変のポアソン比が0.5近傍になるのは、縦ひずみがごく小さいときという限定がつくのです。

追記(2012年7月29日)

コメント欄にありますように、この記事に関してDr.Aboutさんからご指摘がありました。このご指摘は正しいと判断しましたので、ここに付記という形で訂正をさせていただきます。

(1)「ポアソン比」という用語は弾性変形の範囲で用いるもので塑性変形の範囲で使うべきではない。学会で「塑性ポアソン比」という用語の是非が問題になったことがあるようです。

(2)縦ひずみと横ひずみの比を、塑性変形の領域で扱う場合は真ひずみをとるべきであって公称ひずみで議論すべきではない。ちなみに、私の上の記事はすべて公称ひずみで議論しています。

注:公称ひずみと真ひずみの説明は、こちらのHPを参照してください。

(3)塑性変形の領域で縦ひずみと横ひずみの比をとると(実際には横ひずみといっても2方向あって3軸で考えなければならないが)0.5になり体積不変の原則とも一致する。

真ひずみは刻々変化する寸法を基準にして変形の割合をとっていくことですから、私が示したグラフで言えば、横軸で限りなくゼロに近いところで見るということに相当します。私のグラフで横軸が右に行くほど0.5から離れていくのは、公称ひずみで計算をしているからです。

 ポアソン比はあくまでも弾性ひずみの領域での話。そこでは通常真ひずみと公称ひずみはそうずれない。このためポアソン比の測定は、公称ひずみで行う。しかし、その概念を塑性ひずみの領域に延長してはいけません…という話ですね。

今回の指摘で、ポアソン比に関する頭の整理が少しできたような気がします。そして塑性変形の領域で縦ひずみと横ひずみの関係で問題となる点としてランクフォード値という指標があることを知りました。

この記事は、当時「塑性域でのポアソン比」(公称ひずみを前提にして)の近似式を求めるHPを見つけて、「ずいぶんややこしい計算をするなぁ、こんなもの所詮近似式ならEXCELでやれば簡単ジャン」ということで書いた記事でした。

私にとって意外だったのは、「かたちのココロ」は1400近い記事があるのですが、この記事は4年前のものにもかかわらず常に2番目にアクセス数が多いのです。筆者としては「もっと読んでほしい記事はほかにあるんだけどな・・・」という気持ちがあります。ただ世の中にこの問題に関心がる人が結構いらっしゃるということなのでしょう。中には私と同じような勘違いをしている人もいるかもしれません。そういうHPも散見されます。このため、この記事を正しく書き換えるよりはこのような注釈を添えて、残しておくほうが良いかなと判断しました。ただし話の筋とは外れるところでは、一部修正をしました。

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コメント

4年も前の記事ですが、専門家として誤りを放置できないのでコメントします。「100mmの棒が20mm伸びた(縦ひずみ20%)」と、公称ひずみで考えるから体積一定を保とうとするとポアソン比が変化することになってしまう。真ひずみ(http://jikosoft.com/cae/strain.html)で考えると、長手方向のひずみが ln(L/L0)、幅方向のひずみがln(W/W0)で、体積一定よりLW^2=L0 W0^2 → L/L0=(W0/W)^2、両辺の対数をとると ln(L/L0)=-2ln(w/w0)、すなわち、ポアソン比、-εW/εL、は体積が一定である限り常に0.5であり、3方向の垂直ひずみの和は常に0となります。なお、ポアソン比と言う用語は弾性限内でしか使いません。塑性変形では0.5に決まっていますから。ただし強度の異方性により、長手方向に対して幅方向をとるか厚さ方向をとるかでこの比が違って来ることがあります(平均すれば0.5ですが)。このような異方性を表すために、r値(ランクフォード値)というものがあります。詳しくは、http://www.monozukuri.org/mono/db-dmrc/press/text/text08.htm

投稿: Dr. About | 2012年7月27日 (金) 15時12分

Dr. Aboutさん

コメントありがとうございました。とても刺激的で面白いです。ランクフォード値については勉強になりました。
ポアソン比を真ひずみでの縦ひずみと横ひずみの比とすれば、塑性変形時のポアソン比は確かに0.5となりますね。私が示したグラフからも理解できます。
しかし、ポアソン比はその測定方法の規定からすると公称ひずみで考えるのではありませんか?

投稿: SUBAL | 2012年7月28日 (土) 00時08分

DR.aboutさんの言うとおり、大事な基礎的事項での過ちを放置できません。
ポアソン比と体積変化を記述するときには、真応力ー真ひずみを用いることが、基本です。弾塑性論の入門だけでも勉強している人には当然のことです。

投稿: Dr.KH | 2012年7月28日 (土) 11時31分

Dr.KHさん

ご教授ありがとうございます。そうですか。私なりに確認をしてみたいと思いますので、少々お時間を下さい。

投稿: SUBAL | 2012年7月28日 (土) 12時45分

> しかし、ポアソン比はその測定方法の規定からすると公称ひずみで考えるのではありませんか?

先のコメントにも書いたように、ポアソン比と言う用語は弾性限内でしか定義されていません。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%AF%94
弾性限内なら、真と公称の差は無視できるので通常対数ひずみは使いません。弾性変形の場合は単結晶かよほど強い結晶配向を持った材料でない限り、引張方向zに対し、xをとろうがyをとろうが殆ど違いはありません。ですから弾性変形は2つの定数ヤング率とポアソン比だけで記述できるのです。しかし、実際の展伸材は加工履歴に起因する異方性を持っていますから、大抵εx/εz≠εy/εz(真ひずみ)であり、片側だけ測って0.5でなくても体積変化するわけではなく、弾性域のポアソン比とは全く意味が異なります。もちろん両方測ればεx/εz+εy/εz=1で、体積一定則は満たされています(ただし、塑性ひずみに比して弾性ひずみが十分小さい場合)。塑性ひずみに対するεx/εzの測定は、間接的なr値(εx/εy)方法として用います。ただし、r値は板限定で、xは幅方向、yは厚さ方向です。異方性を無視し、等方材料を仮定した解析では、この比(ポアソン比ではない)は常に0.5で、材料に依存しません。

投稿: Dr. About | 2012年7月28日 (土) 13時17分

Dr. About さん 
ご教授ありがとうございました。今回のコメントでおっしゃりたいことが理解できたような気がします。鈍い頭で申し訳ありません。

ポアソン比という用語は、弾性変形域でのみ使う用語で、塑性変形域で使うことに無理がある。弾性変形の領域では、真ひずみと公称ひずみの差は無視できるので、ポアソン比の測定方法としては通常公称ひずみで記述される。
塑性変形域では、ランクフォード値を定義しなければならないような現象が起きるため、縦ひずみと横ひずみの比を扱う場合に真ひずみで考えないと意味がなくなる。異方性が無い材料を想定して、塑性変形域での縦ひずみと横ひずみの比(ポアソン比のようなものではあるがポアソン比ではない)を想定すると、常に0.5になり体積不変の原則が保たれる。

このような理解でよろしいでしょうか。

投稿: SUBAL | 2012年7月28日 (土) 15時14分

概ね解っていただけたようですね。ただ、塑性域で対数ひずみを使うのは、異方性を取り扱うためではありません。公称ひずみは初期長さに対する比ですから、L1→L2→L3と伸びたときL2→L3のひずみもL1で割ることになる。公称応力が断面積の変化にもかかわらず初期断面積で割るのと同じです。真ひずみ∫(dL/L)は時々刻々変化する長さに対する伸び率の累積を意味します。つまり、公称応力、公称ひずみは工業的な指標であり、力学的な関係を記述するパラメータにはなり得ないということです。

ついでにもう一点、

> ところで、ひとつの材料の中に弾性変形と塑性変形が混在して隣り合っていたら、どうなるでしょうか。

「弾性域と塑性域」というべきでしょう。塑性変形は
最大せん断応力あるいはせん断の弾性ひずみエネルギーが臨界値に達したとき起こる現象ですから、塑性変形している部分には必ず(同じ場所に)弾性変形も生じています。また、「塑性拘束」という現象は、ひずみの局部集中(局所的な塑性変形)によるもので、弾性と塑性のポアソン比(に相当するもの)の違いに起因するものではありません。なお、塑性変形している部分には必ず弾性変形も生じていますが、塑性変形がある程度進行すると弾性変形は無視できるほど小さくなりますから、普通は、弾性ひずみも含めた全ひずみに対して体積一定の条件を適用できます。

投稿: Dr. About | 2012年7月28日 (土) 18時52分

Dr. About さん ありがとうございます。

一応真ひずみの意味については理解しているつもりです。私はどちらかというと工業的利用の方にスタンスがありますので、公称応力・公称ひずみでいけるところはそれで良く、それでは説明がつかないあるいは支障をきたす場合に真応力や真ひずみを問題にすればよいと考えています。刻々変化するひずみを計測するのは実際上困難であると認識をしています。ただ学問的に考える場合の力学的なパラメータという視点でいうとおっしゃる通りだろうと思います。

塑性拘束の記述に関しては、確かに「弾性域と塑性域」とすべきところでした。それと「ポアソン比」の違いが塑性拘束の原因ととられかねない記述になっていますね。

概ねご指摘の点は理解しましたので、この記事に関しては後日加筆訂正をします。ありがとうございました。

投稿: SUBAL | 2012年7月28日 (土) 19時54分

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