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三角形の角度と螺旋方程式の定数

 あることで螺旋のことを思い出したところに、北海道で新種のアンモナイトが発見されたということで、螺旋を調べるソフト「Spiral」を動かしてみました(昨日の記事)。

 で結果は「この新種のアンモナイトの螺旋定数は、0.453π(ラジアン) 81.54(度)」

 この「0.453π(ラジアン) 81.54(度)」と中心角30度で三角形を回転させた時の角度「83.3度」の関係について書きます。

「Spiral」では、中心角を変えることができます。中心角を15度にすると…

Ammonite_hobetu3

 描かれる三角形の数は2倍になります。それとともにアンモナイトの縁側の角度(らせん周角と名をつけます)は少し大きく91度になっています。曲線の2点を直線で結んだ時にできる角度ですから、区分を細かくすれば角度が大きくなるのは当然のことです。

 中心角をもっと小さくしてみます。

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 中心角を5度にしてみました。

Ammonite_hobetu5

 中心角30度の時と比べると描いた三角形の数は5倍です。ここまで来ると、アンモナイトの外殻線に沿った赤い線は、ほとんど曲線に見えてきます。この時のらせん周角は、96度になります。

 中心角を2度にすると・・・

Ammonite_hobetu4

 もうほとんどアンモナイトでしょう。この時のらせん周角は、97.5度です。

 中心角をドンドン小さくしていくと、らせん周角は、98.46度に近づいていくのです。

 もうお分かりでしょう。98.46=180-81.54なのです。

Ammonitehobeturasen

 上記の図解に示すΨに近づくのです。

 回転角をαとするとαの増分は⊿αと書くことができます。この⊿αを限りなくゼロに近づける(⊿α→0)ときの、もう頭の中で想像するしかない三角形のらせん周角が、螺旋方程式の定数なのです。

 高校2年生の数学の時間、微積分の導入の時に数学の教師が⊿x→0の説明をしたときの感動を今でも覚えています。彼はこう言いました。

「xとyで表せる関数グラフ上のこの1点、この点は静止した1点ではなくまさに動き出そうとしてうずうずしている。どのように動き出そうとしているのか、それを明らかにするのが微分なのだ」

 へー!なるほど!そうか!公式を覚えて計算するだけの無味乾燥の授業が、がぜん面白くなった瞬間でした。

 この「Spiral」を作って、三角形を積み重ねて対数らせんのプロファイルを明らかにできたとき、あの時の感動がよみがえってきました。

 この感動を伝えたくて、昨日もブログ記事を書きました。が、いつもに比べてアクセス数も少ない、応援も減少、伝わらない感があります(;ω;)。

 伝えるスキルとセンスが不足しているのだと思います。でもめげずに書くぞr(^ω^*)))

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