対数螺旋

日本救急医学会のポスターと対数螺旋

 第43回日本救急医学会・学術総会のポスターが洒落ています。

Poster

 特に真ん中に配置されたオウムガイのコラージュ、私はなかなかいけていると思います。

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EPTA『螺旋の謎』特集

 EPTA(エプタ)と言う名の企業誌と縁ができたという話を前に書きました。7月号の『螺旋の謎』特集で、表紙に葛飾北斎の「神奈川沖浪裏」に私のソフト『Spiral』で描いた対数螺旋を重ねた図を使いたいということで連絡をくれたのでした。

 その号が出来上がって10部ほど送られてきました。

Img_4552

 久々に対数螺旋で遊んでいたころを思い出しました。この本の編集者のセンスと見識はなかなかのものだと思います。

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三角形の角度と螺旋方程式の定数

 あることで螺旋のことを思い出したところに、北海道で新種のアンモナイトが発見されたということで、螺旋を調べるソフト「Spiral」を動かしてみました(昨日の記事)。

 で結果は「この新種のアンモナイトの螺旋定数は、0.453π(ラジアン) 81.54(度)」

 この「0.453π(ラジアン) 81.54(度)」と中心角30度で三角形を回転させた時の角度「83.3度」の関係について書きます。

「Spiral」では、中心角を変えることができます。中心角を15度にすると…

Ammonite_hobetu3

 描かれる三角形の数は2倍になります。それとともにアンモナイトの縁側の角度(らせん周角と名をつけます)は少し大きく91度になっています。曲線の2点を直線で結んだ時にできる角度ですから、区分を細かくすれば角度が大きくなるのは当然のことです。

 中心角をもっと小さくしてみます。

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北海道で発見された新種アンモナイトの螺旋定数を調べる

 北海道むかわ町穂別で7200万年前の地層から新種のアンモナイトが発見されたと報じられています

 最近ご無沙汰でしたが、実はアンモナイトマニアでもあるのです。

 特に対数螺旋(等角螺旋ともいいます)の螺旋の定数を調べるソフト「Spiral」を作ってから、手元にあるアンモナイト、購入したアンモナイト、博物館に行って撮影してきたアンモナイト、本に掲載されているアンモナイト・・・ともかく手当たり次第に調べた時期があります(こちら)。

 というわけで、新種のアンモナイトも測ってみました。

Ammonite_hobetu

 画像をとりこんで、重ねていく三角形の角度と始めの大きさを決めます。回転角とあわせて、重ねていく三角形の角度が等角螺旋の定数になります。

 この新発見のアンモナイトの場合、中心角が30度にするともう一つの角が83.3度になる三角形を描いて、30度づつ回転させながら描いていくと、三角形の頂点がアンモナイトの螺旋に重なることになります。その時、隣り合う三角形の比は1:1.082になります。つまり、30度分成長するとき1.082倍になっているということでもあります。

 ここまでは、小学校で習う算数で理解できるはずです。

 外殻線に合うように2つの値を調整します。程よいなと思ったら、曲線にするボタンを押すと、滑らかならせんを描いてくれます。

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今日の英会話レッスン 対数らせんの極方程式

 朝に25分の英会話レッスン(RareJob)を受けています。フリーの会話を楽しむことが多いのですが、ネタもだんだん尽きてきます。昨日の講師が、フィリピン大学の数学科の女子学生で乗りが良かったので、今朝も指名して、らせんを調べるソフト「Spiral」の紹介をしてみました。

Spiral2

 画像を取り込んで、対数らせんを見つけて、一定比率で大きくなる三角形を一定角度で回転させながら描くことで、対数らせんの性質を見つける、という究極のマニアックなソフトウエアです。

Spiral2_2

 アンモナイトやオウムガイ、貝のから、銀河、花の種つきかたなど、自然界のなかで一定比率で成長するものの中に見つけることができます。

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直角貝(Orthoceras:straight horn)

 旅に出ると、思わぬところで思わぬ出会いがあるものです。

 先日宿泊した川崎のホテル、普通のビジネスホテルでした。そのロビーの奥、エレベータの横の壁に大きな岩を板状にスライスしたレリーフが飾ってありました。

 アンモナイトと直角貝の化石が埋め込まれているノジュールでした。アンモナイトの化石やオウムガイの殻はいくつか持っているのですが、直角貝はありません。

Dscn1112

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仕事にちゃんと役立つ材料力学

「仕事にちゃんと役立つ材料力学」というWEB上の記事を読みました。

長年構造解析の実務に携わってきた方が、設計業務にとって必要な材料力学についてやさしく解説をしています。語り口と視点が私好みで、連載記事を読み進んでいきました。

その中にこんなくだりがありました。

『材料力学については、約65%の人が「忘れてしまった」状態で製品を設計しています!  正直、これにはちょっと驚きました。さらに、有限要素法については、90%以上の人が仕組みをまったく分からずに解析ツールを使っているということが分かりました。 』

ほんとかよ!という気がしましたが、説明を読んでゆくとそういうこともあるのか、と納得しました。

で、連載4回目の『設計で欠かせない「ミーゼス応力」を押さえよう』の3ページ目、せん断力のところで紹介されているサイトを見ると、どこかで見たようなURLでした。

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ハリナガリンボウの螺旋

以前東急ハンズで衝動買いをした貝殻です。税込み1050円でした。

Cimg2189 ハリナガリンボウ(Yoka Star Turban)という名前のようです。微小貝データベース。写真でうまく色が再現できていませんが、メタルピンクに輝いて怪しく美しいです。

Harinaga 螺旋分析マニアですから、早速「Spiral」で分析してみます。これも対数螺旋になっているといってよいでしょう。b=0.529πになっています。

90度回転するごとに中心からの距離は1.152倍になります。

この貝、裏側はまったく違う色をしています。

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オウムガイの対数螺旋

「オウムガイの螺旋は黄金比の螺旋→自然の中にある黄金比」という俗説はずいぶん少なくなりました。でもまだ教育関係者の中にはこんな授業案を公開している方もいます。何を根拠に『「神の比」とも呼ばれ世界で最も美しい比です。』などというのでしょう。

大学の数学の先生もこんな見解を根拠なく披瀝しています。巻貝でも動物の角でもよいですからひとつでも黄金比になっている例を示してもらいたいものです。

ニセ科学以下の珍説でしかありません。

オウムガイの螺旋には黄金比はない」というのはだいぶ浸透してきているようで、大学の先生も講義で取り上げている例も見られるようになりました。こちらの講義録(PDF)。(某国立工業大学の講義録でしたが、削除されたようです。2009年4月17日追記)

でもこの先生ちょいと勇み足です。Wikipediaの「黄金比」に掲載された文章を引用してます。ということはその中にある

「黄金矩形に沿う螺旋もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに対数螺旋であるが、螺旋の定数は異なる。」

という文章(書いたのは私です)も読んでいると思います。

この先生、その上で「(オウムガイの)外側と内側では曲率半径の増加率が対数螺旋と微妙に異なる」と言っています。黄金比にもならないが対数螺旋にも重ならない、ということですね。

001oumu 確かにこの先生が示している図では、対数螺旋の曲線とオウムガイの殻の輪郭線にはずれがあるように見えます。

でも、オウムガイの対数螺旋をたくさん調べてきた目から見ると、この作図法には初歩的な間違いが2つあることにすぐに気がつきました。続く以下で検証してみます。

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アンモナイトの輝き

この写真を見ただけで、アンモナイトだと解りますか?結構怪しいでしょう。

Anmo4 これはスキャナーで取り込んでから、Microsoft Office Picture Managerを使ってコントラストと色相を少し調整したものです。

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